Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 17
O tanque na Figura Ex-17 tem água até uma profundidade de . Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água até o topo do tanque. [Use como a densidade do peso da água.]
Passo 1
Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima. Podemos cortar nosso volume de água em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.
Aí lembramos que para uma força constante:
Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!
Passo 2
Vamos descobrir o valor da força por fatia.
Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal .
Mas como temos duas faces com formato triângular, a largura dessas fatias vai variar com (altura do reservatório)
Podemos usar semelhança de triângulos:
Logo, o volume fica:
Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:
Passo 3
Precisamos entender agora como é o nosso valor de para cada fatia:
Repara que podemos escrever:
Sendo que vai de a .
Passo 4
O trabalho fica com essa carinha:
Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório: