Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 60
O planeta Plutão percorre uma órbita elíptica ao redor do Sol (em um foco). O comprimento do eixo maior é , e o comprimento do eixo menor é . Use a Regra de Simpson com para estimar a distância percorrida pelo planeta durante uma órbita completa em torno do Sol.
Passo 1
Bom, pessoal. Primeiro a gente precisa entender o que o exercício tá falando e o que ele quer da gente.
Plutão faz um caminho elíptico em torno do Sol, é como se Plutão estivesse deslizando sobre uma elipse imaginária. O exercício nos deu o comprimento do eixo maior dessa elipse (que é equivalente a ) e o comprimento do eixo menor (equivalente a ). E a partir disso, a gente precisa ser capaz de estimar a distância percorrida durante um órbita completa, ou seja, qual o comprimento do caminho que o planeta faz quando ele sai de um ponto e dá uma volta até chegar no mesmo ponto?
Passo 2
Show! Precisamos saber que elipse é essa, né? Bora tentar achar uma parametrização pra ela?
O exercício, de forma indireta, nos deu que:
Agora, se a gente tem a equação da elipse assim:
então uma boa parametrização é a seguinte:
para pois estamos falando de uma volta completa.
Passo 3
Agora que a gente parametrizou a elipse, podemos calcular o comprimento da curva pela fórmula:
com:
Então ficamos com:
Mas o exercício não pediu que a gente calculasse essa integral explicitamente, mas sim, usasse a Regra de Simpson para para fazer uma estimativa. E como aplicamos essa regra?
onde
Fazendo esses cálculos numa calculadora programável, chegamos à seguinte estimativa: