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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 42

Calcule o comprimento da curva:

x = e^t + e^(- t) , y = 5 - 2 t , 0 <= t <= 3

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = int_a^b sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = int_a^b [[sqrt(1 + (((d y)/(d t))/((d x)/(d t)))^2) (d x)/(d t) d t],[]]

Passando (d x)/(d t) ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x e y , certo?

x = e^t + e^(- t)

d x = e^t - e^(- t) d t

((d x)/(d t))^2 = e^(2 t) - 2 e^(t - t) + e^(- 2 t)

((d x)/(d t))^2 = e^(2 t) - 2 + e^(- 2 t)

y = 5 - 2 t

d y = - 2 d t

((d y)/(d t))^2 = 4

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = int_0^3 sqrt(e^(2 t) - 2 + e^(- 2 t) + 4) d t

L = int_0^3 sqrt(e^(2 t) + e^(- 2 t) + 2) d t

Observe que podemos fatorar tudo e conseguir eliminar essa raiz chata:

L = int_0^3 sqrt((e^t + e^(- t))^2) d t

L = int_0^3 e^t + e^(- t) d t

Agora é só integrar tudo e tomar os limites:

L = e^t - e^(- t) (3)/(0)

L = e^3 - e^(- 3) - 1 + 1 = e^3 - e^(- 3)

Resposta

L = e^3 - e^(- 3)

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