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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 44

Calcule o comprimento da curva:

x = 3 cos t - cos 3 t , y = 3 sen t - sen 3 t , 0 <= t <= pi

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = int_a^b sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = int_a^b [[sqrt(1 + (((d y)/(d t))/((d x)/(d t)))^2) (d x)/(d t) d t],[]]

Passando (d x)/(d t) ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x e y , certo?

x = 3 cos t - cos 3 t

d x = - 3 sen t + 3 sen 3 t d t

((d x)/(d t))^2 = 9 s e n^2 t - 18 s e n t s e n 3 t + 9 s e n^2 3 t

y = 3 sen t - sen 3 t

d y = 3 cos t - 3 cos 3 t d t

((d y)/(d t))^2 = 9 cos^2 t - 18 cos t c o s 3 t + 9 cos^2 3 t

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = int_0^(pi) sqrt(9 s e n^2 t - 18 s e n t s e n 3 t + 9 s e n^2 3 t + 9 cos^2 t - 18 cos t c o s 3 t + 9 cos^2 3 t ) d t

Como s e n^2 t + cos^2 t = 1 :

9 s e n^2 t + 9 cos^2 t = 9 e 9 s e n^2 3 t + 9 cos^2 3 t = 9

Também temos a relação que cos (a + b) = cos a cos b - s e n a s e n b :

- 18 cos (3 t - t) = - ( 18 cos t c o s 3 t + 18 s e n t s e n 3 t )

L = int_0^(pi) sqrt(9 + 9 - 18 cos 2 t) d t

L = int_0^(pi) sqrt(18 - 18 cos 2 t) d t

Outra relação que vai nos ajudar a resolver o problema é:

s e n^2 x = (1)/(2) - (1)/(2) c o s 2 x

36 s e n^2 t = 18 - 18 c o s 2 t

Substituindo em L :

L = int_0^(pi) sqrt(36 s e n^2 t) d t

L = int_0^(pi) 6 s e n t d t

Integrando e tomando os limites:

L = - 6 cos t (pi)/(0)

L = 6 + 6 = 12

Resposta

L = 12

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Calcule o comprimento exato da curva polar r = θ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π
Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o comprimento da curva x = t - e t , y = t + e t , - 6 ≤ t ≤ 6 .
Ache o comprimento do laço da curva x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 .
Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o comprimento da curva x = t - e t , y = t + e t , - 6 ≤ t ≤ 6 .
Mostre que o comprimento total da elipse x = as e n θ ,y = bc o sθ ,ab0 , é L = 4 a∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 θd θ onde e é a excentricidade da elipse ( e = c a , com c = a 2 - b 2 )