Para quais valores de cada série é convergente?

Show! Vamos tentar pensar em alguns valores pra . Que tal ?

Bom, isso equivaleria à série harmônica alternada, que já sabemos que converge, pois é decrescente e o limite vai pra zero.

Beleza! Agora, vamos pensar em , que também equivale a :

Nesse caso, é sempre decrescente, pois o denominador da fração está sempre aumentando. O limite também se anula:

Então, pra , a série também é convergente.

Agora só falta pensar em . Pra ver se é pelo menos finalmente decrescente, vamos calcular a derivada, lembrando da regra do quociente que diz que a derivada de é

Substituindo e na regra do quociente:

Fazendo a distributiva do no primeiro termo do numerador:

Ficaremos com:

Fatorando o numerador por , temos que:

Se podemos observar que a derivada é positiva sempre que , o que implica que . Como cresce para infinito, sempre existirá um valor e a partir do qual . Portanto, podemos afirmar que é decrescente para .

Para verificar a convergência da série para , calculamos o limite de quando tende ao infinito:

Isso ocorre porque os polinômios crescem mais lentamente do que qualquer potência de logaritmo.

Assim, confirmamos que a série também é convergente pra .