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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 69

(a) Pode-se mostrar que

∫ 0 + ∞ 1 x 6 + 1 d x = π 3

Aproxime essa integral aplicando a regra de Simpson, com n = 20 subdivisões à integral

∫ 0 4 1 x 6 + 1 d x

Arredonde sua resposta para três casas decimais e compare- a com π / 3 arredondado para três casas decimais.

(b) Use o resultado obtido no Exercício 52 e o fato de que 1 / ( x 6 + 1 ) < 1 / x 6 se x ≥ 4 para mostrar que o erro de truncamento na aproximação em (a) satisfaz 0 < E < 2 × 10 - 4 .

Passo 1

Vamos começar resolvendo o item (a), como n = 20 , pela a regra de Simpson, temos:

∫ 0 4 1 x 6 + 1 d x

Calculando ∆ x = b - a n = 0,2 , teremos:

= ∆ x 3 f 0 + 4 f 0 , 2 + 2 f 0 , 4 + 4 f 0 , 6 + … + 2 f 3,4 + 4 f 3,6 + 2 f 3,8 + 4 f 4

Logo, ∫ 0 4 1 x 6 + 1 d x ≈ 1,047   e comparando com π 3 = 1,047 .

Passo 2

Para o item (b), calculamos o erro, logo

∫ 0 + ∞ 1 x 6 + 1 d x = ∫ 0 4 1 x 6 + 1 d x + ∫ 4 + ∞ 1 x 6 + 1 d x

Então,

E = ∫ 4 + ∞ 1 x 6 + 1 d x < ∫ 3 + ∞ 1 x 6 d x

1 5 4 5 < 2 × 10 - 4

Prontinho!!

Resposta

(a)   ∫ 0 4 1 x 6 + 1 d x ≈ 1,047

(b) 1 5 4 5 < 2 × 10 - 4

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