Enunciado

Em que ponto as curvas r 1 t = ( t ,   1 - t ,   3 + t 2 ) e r 2 s = ( 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 ) se interceptam? Encontre o ângulo entre elas no ponto de intersecção, com precisão de um grau.

Passo 1

Primeiramente devemos encontrara o ponto de intersecção das curvas dadas. Para isso, igualamos as duas equações vetoriais obtendo

r 1 t = r 2 ( s )

t ,   1 - t ,   3 + t 2 = ( 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 )

Da igualdade acima obtemos 3 equações:

t = 3 - s ,     1 - t = s - 2 ,     3 + t 2 = s 2

Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de t e s que satisfazem as equações simultaneamente. As 2 primeiras equações são equivalentes, por isso, utilizaremos a primeira e a terceira para encontrar os valores procurados.

Da primeira equação temos t = 3 - s . Substituindo t na terceira equação teremos:

3 + 3 - s 2 = s 2

3 + 9 - 6 s + s 2 = s 2

6 s = 12

s = 2

Sendo s = 2 , temos t = 1 .

Portanto, o ponto de intersecção das curvas é dado por

r 1 1 = r 2 2 = ( 1 ,   0 ,   4 )

Agora, para descobrir o ângulo de intersecção das curvas, basta proceder como no exercício 31.

Passo 2

As derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas, são dadas por:

r 1 ' t = ( 1 ,   - 1 ,   2 t )

r 2 ' s = ( - 1,1 ,   2 s )

No ponto de intersecção os vetores tangentes são dados por

r 1 ' 1 = ( 1 ,   - 1 ,   2 )

r 2 ' 2 = ( - 1 ,   1 ,   4 )

Passo 3

Agora que temos os vetores tangentes vamos calcular o produto escalar entre eles:

r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ⋅ - 1 ,   1 ,   4 = - 1 - 1 + 8 = 6

Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela segunte fórmula:

r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 = r 1 ' 1 r 2 ' 2 cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo entre os vetores.

Isolando o termo cos ⁡ θ temos

cos ⁡ θ = r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 r 1 ' 1 r 2 ' 2

Passo 4

Agora, substituindo os valores na equação obtida no final do Passo 3, obtemos:

cos ⁡ θ = 6 ( 1 2 + - 1 2 + 2 2 ) ( ( - 1 ) 2 + 1 2 + 4 2 ) = 6 6 18 = 6 6 3 = 1 3

O ângulo θ é dado então por

θ = arccos ⁡ 1 3 ≈ 55 °

Resposta

θ ≈ 55 °

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