Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 34
Em que ponto as curvas e se interceptam? Encontre o ângulo entre elas no ponto de intersecção, com precisão de um grau.
Passo 1
Primeiramente devemos encontrara o ponto de intersecção das curvas dadas. Para isso, igualamos as duas equações vetoriais obtendo
Da igualdade acima obtemos 3 equações:
Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de e que satisfazem as equações simultaneamente. As 2 primeiras equações são equivalentes, por isso, utilizaremos a primeira e a terceira para encontrar os valores procurados.
Da primeira equação temos . Substituindo na terceira equação teremos:
Sendo , temos .
Portanto, o ponto de intersecção das curvas é dado por
Agora, para descobrir o ângulo de intersecção das curvas, basta proceder como no exercício 31.
Passo 2
As derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas, são dadas por:
No ponto de intersecção os vetores tangentes são dados por
Passo 3
Agora que temos os vetores tangentes vamos calcular o produto escalar entre eles:
Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela segunte fórmula:
Sendo o ângulo entre os vetores.
Isolando o termo temos
Passo 4
Agora, substituindo os valores na equação obtida no final do Passo 3, obtemos:
O ângulo é dado então por