Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 29
Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vou te auxiliar nessa resolução hoje.
Dada a curva parametrizada:
Queremos saber a equação paramétrica da reta tangente a essa curva, no ponto:
Em uma equação paramétrica do tipo:
A reta tangente dessa equação paramétrica é:
Onde:
É o ponto de tangencia, e:
É a derivada do nosso vetor no ponto que nos leva ao ponto de tangencia:
Passo 2
A equação vetorial da curva é
O valor do parâmetro no ponto considerado é pois temos:
Precisamos então calcular o a derivada da função vetorial:
Portanto, o vetor tangente no ponto especificado, ou seja, para , é:
Passo 3
Relembrando a equação da reta tangente:
Já temos o vetor tangente:
E ponto nos foi dado no enunciado:
Então a equação que buscamos é:
Em formato paramétrico:
Ou melhor
Passo 4
Com base nas equações paramétricas da curva e da reta é possível traçar os gráficos de ambas numa mesma tela utilizando softwares como mostrado abaixo:
Utilizamos o GeoGebra para criar o gráfico. Veja que a reta tangente é a de preto e a nossa curva está em amarelo.