Um ponto P está movendo-se ao longo de uma reta cuja equação é y=2 x . Com que rapidez estará variando a distância entre P e o ponto ( 3 ,0 ) no instante em que P estiver em ( 3 ,6 ) se x estiver decrescendo a uma taxa de2u n i d a d e sp o rs e g u n d o , naquele instante?

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 39

Um ponto está movendo-se ao longo de uma reta cuja equação é . Com que rapidez estará variando a distância entre e o ponto no instante em que estiver em se estiver decrescendo a uma taxa de, naquele instante?

Passo 1

Já que a pergunta é sobre a rapidez com que a distância entre os pontos está variando, precisamos achar alguma equação que descreva essa distância. Se chamarmos a distância entre e o ponto de , pela fórmula de distância entre dois pontos, temos que:

Além disso a gente sabe que o ponto se move pela reta Então:

Substituindo isso dentro da equação da distância entre os pontos:

Passo 2

Agora precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo pra aparecer o termo em que estamos interessados (), que diz respeito a rapidez com que a distância entre os pontos está variando.

No nosso caso e não vão estar variando, pois são as coordenadas do ponto. Então pela Regra da Cadeia:

Dividindo todos os termos por

Acabamos de chegar numa equação que relaciona as taxas de variação de caras muito maneiros, agora só falta organizar melhor pra ela ficar menos feia hehe