Enunciado

Um ponto P está movendo-se ao longo de uma reta cuja equação é y   =   2 x . Com que rapidez estará variando a distância entre P e o ponto ( 3 ,   0 ) no instante em que P estiver em ( 3 ,   6 ) se x estiver decrescendo a uma taxa de   2   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o , naquele instante?

Passo 1

Já que a pergunta é sobre a rapidez com que a distância entre os pontos está variando, precisamos achar alguma equação que descreva essa distância. Se chamarmos a distância entre P e o ponto ( 3,0 ) de D , pela fórmula de distância entre dois pontos, temos que:

D 2 = x - x p 2 + y   - y p 2

Além disso a gente sabe que o ponto P se move pela reta y   =   2 x . Então:

  y p   =   2 x P

Substituindo isso dentro da equação da distância entre os pontos:

D 2 = x - x p 2 + y   - 2 x p 2

Passo 2

Agora precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo pra aparecer o termo em que estamos interessados ( d D / d t   ), que diz respeito a rapidez com que a distância entre os pontos está variando.

d ( D 2 ) d t = d d t x - x p 2 + y   - 2 x p 2

d ( D 2 ) d t = d x - x p 2 d t + d y   - 2 x p 2 d t

No nosso caso x e y não vão estar variando, pois são as coordenadas do ponto   ( 3,0 ) . Então pela Regra da Cadeia:

d ( D 2 ) d D d D d t   = d x - x p 2 d x p d x p d t + d y   - 2 x p 2 d x p d x p d t  

2 D d D d t   = - 2 x - x p d x p d t + - 2 2 y   - 2 x p d x p d t

Dividindo todos os termos por 2  

D d D d t   = - x - x p d x p d t - 2 y   - 2 x p d x p d t

Acabamos de chegar numa equação que relaciona as taxas de variação de caras muito maneiros, agora só falta organizar melhor pra ela ficar menos feia hehe

D d D d t   = d x p d t   5 x p - x - 2 y                                   e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 3

Antes de jogar os dados na equação, vamos ver o que temos:

x decrescendo a uma taxa de   2   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o       ⇒         d x p d t =   - 2   u n i d a d e s / s .

Lembrando de atentar pro sinal negativo pois x   está DECRESCENDO.

Ponto em que estamos interessados em calcular a distância ate P : ( 3 ,   0 ) . Então x = 3 e y = 0

P em ( 3 ,   6 ) . Então x p = 3 e y p = 6

Massss ainda falta descobrir o valor de D naquele instante. Pra isso:

D 2 = x - x p 2 + y   - y p 2

D 2 = 3 - 3 2 + 0   - 6 2                         ⇒             D = 6

Passo 4

Substituindo isso tudo na equação (1):

D d D d t   = d x p d t   5 x p - x - 2 y

( 6 ) d D d t   = ( - 2 )   5 ( 3 ) - ( 3 ) - 2 ( 0 )

6 d D d t   = - 2 15 - 3 )

6 d D d t   = - 2 12

d D d t = -   4   u n i d a d e s / s

Resposta

-   4   u n i d a d e s / s

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