Água está sendo armazenada em um reservatório cônico (vértice para baixo). Supondo que a água evapora a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar, mostre que sua profundidade irá decrescer a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório.

Como o enunciado fala sobre a velocidade com que profundidade muda, parece útil derivarmos essa expressão em relação ao tempo, pra aparecer o que representa exatamente o que nos interessa. Fazendo isso fica assim:

Usando a regra da derivada do produto, vamos ter:

Pela regra da cadeia:

Chegamos que

Mas aí apareceu um tal de que não temos e nem estamos interessados, mas podemos derivar a tangente do ângulo do vértice do cone pra relacionar ele com

Como o ângulo não varia:

Mas o que significa falar que que a água evapora a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar? A taxa com que a água evapora nada mais é do que a taxa de variação do volume, e essa taxa é proporcional a área da superfície exposta ao ar:

Aonde é a constante de proporcionalidade.

Agora vamos juntar todas as nossas equações:

Substituindo (2) e (3) em (1) pra deixar tudo em função de :

Esse é um momento que a gente fica muito triste, porque fizemos tudo certinho, mas o ainda ta dependendo de e . Masss lembra que ?? Bora jogar isso ali dentro:

Opaaa opaaa está provado o que o enunciado pediu, constante que não depende das dimensões do reservatório.