Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x₀ = 0 . Encontre a solução geral em (0, ∞) .

x^2 * y'' - (x - 2 / 9) * y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

3 x y ' ' + 2 - x y ' - y = r 2 - r + 2 9 c 0 x r + ∑ k = 1 ∞ k + r - 1 k + r c k + 2 9 c k - c k - 1 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r - 2 3 . r - 1 3 = 0

k + r k + r - 1 + 2 9 c k - c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 2 3 e r = 1 3

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 2 3 e r = 1 3

Usando r = 2 3 , temos

c k = 3 c k - 1 3 k 2 + k ,   k = 1 , 2,3 …

E então:

c 1 = 3 4 c 0

c 2 = 9 56 c 0

c 3 = 9 560 c 0

Enquanto para r = 1 3 temos:

c k = 3 c k - 1 3 k 2 - k ,   k = 1 , 2,3 …

Então:

c 1 = 3 2 c 0

c 2 = 9 20 c 0

c 3 = 9 160 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x 2 3 1 + 3 4 x + 9 56 x 2 + 9 560 x ³ + … + C 2 . x 1 3 1 + 3 2 x + 9 20 x 2 + 9 160 x ³ + …

Resposta

y = C 1 . x 2 3 1 + 3 4 x + 9 56 x 2 + 9 560 x ³ + … + C 2 . x 1 3 1 + 3 2 x + 9 20 x 2 + 9 160 x ³ + …

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados