Exercícios de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular - Lista de Exercícios Resolvida

Suponha que e são soluções da EDO

Você pode dizer se o ponto é um ponto ordinário ou singular? Justifique!

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

Considere a equação

Justifique que as funções

são analíticas em e conclua que é ponto ordinário.

Mostre que os raios de convergência das séries de Taylor de e em torno de é igual a .

Mostre que não é um ponto ordinário mas é um ponto singular regular.

Determine a equação indicial em , calcule suas raízes, e dê a forma de duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius, em torno de .

Considere a equação diferencial

a) Mostre que é ponto singular desta equação diferencial

b)Determine a relação de recorrência, a equação indicial e suas raízes

c)Determine a solução em série de Frobenius em torno de , correspondente a maior raiz da equação indicial. Determine a expressão do termo geral desta solução.

d)Qual é o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em c) ?

Considere a equação

Justifique que as funções

são analíticas em e conclua que é ponto ordinário.

Mostre que os raios de convergência das séries de Taylor de e em torno de é igual a .

Mostre que não é um ponto ordinário mas é um ponto singular regular.

Determine a equação indicial em , calcule suas raízes, e dê a forma de duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius, em torno de .

Dada a equação diferencial

Mostre que a equação tem um ponto singular regular em .

Determine a equação indicial e suas raízes.

Encontre a relação de recorrência.

Encontre os três primeiros termos não nulos da solução correspondente à maior raiz e dê a forma da solução correspondente à menor raiz.

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

Considere a seguinte equação diferencial ordinária:

a) Mostre que é um ponto singular regular.

b) Determine as raízes da equação indicial em torno do ponto .

c) Seja a solução dada em série de potências, em torno de , correspondente à maior raiz da equação indicial. Determine a relação de recorrência dos coeficientes dessa solução.

1. Mostre que é um ponto singular-regular para a equação
2. Encontre uma solução por série da equação na forma

Com sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação.

3. Qual o raio mínimo de convergência da solução.

Considere a equação

a) Mostre que é ponto singular regular dessa equação

b) Determine as raízes da equação indicial dessa equação

c) Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de da solução que corresponde à menor das duas raízes da equação indicial.

1. Mostre que é um ponto singular-regular para a equação
2. Encontre uma solução por série da equação na forma

Com sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação.

3. Qual o raio mínimo de convergência da solução.

a) Mostre que é um ponto singular-regular para a equação

b) Encontre uma solução por série da equação na forma

Com sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação.

a) Mostre que é um ponto singular-regular para a equação

b) Encontre a solução por série da equação acima na forma

Com sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação acima.

(3 pts) Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões:

( ) O sistema de EDO

Admite as soluções linearmente independentes

( ) ponto é um ponto ordinário da EDO

( ) O ponto é um ponto singular-regular da EDO

Considere a EDO

(a) (1pt) Defina o ponto ordinário;

(b) (1pt) Defina o ponto singular-regular

Considere a seguinte equação de Chebyshev.

1. Mostre que 1 é ponto singular regular de essa equação.
2. Determine as raízes da equação indicial dessa equação.
3. Determine a relação de recorrência da solução em série de essa equação que corresponde à maior das duas raízes encontradas no item b).

Mostre que é um ponto singular-regular para a equação:

Encontre uma solução por serie da equação anterior da forma

Com sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação anterior.

Questão 3: Considere a seguinte EDO:

1. Mostre que é um ponto singular regular desta equação.
2. Determine as raízes da equação indicial desta equação.
3. Determine a relação de recorrência da solução em séries associadas à maior das duas raízes encontradas na parte .

10) Classifique o(s) ponto(s) singular(es) da equação abaixo

a) é um ponto singular...

b) é um ponto singular...

11) Classifique o(s) ponto(s) singular(es) da equação abaixo

a) é um ponto singular...

b) é um ponto singular...

Considere a equação diferencial

Mostre que é um ponto singular da equação.

Determine a equação indicial e suas raízes (os expoentes de singularidade).

Determine a solução em série de Frobenius (em torno de ) correspondente à maior raiz da equação indicial, expressando a relação de recorrência e o termo geral da série.

14) As equações lineares de segunda ordem na forma

Tem como pontos singulares os zeros de .

Mostre que é um ponto singular regular da equação de Bessel

( é uma constante não negativa.)

No caso (equação de Bessel de ordem 1), usando a teoria, dê a forma de duas soluções linearmente independentes no intervalo . (Não precisa calcular.)

Só também usando a teoria (sem fazer cálculos) ou o item b), justifique que a equação de Bessel de ordem 1 () tem uma solução dada por uma série de potências e convergente em toda a reta (com raio de convergência infinito).

9) Classifique o(s) ponto(s) singular(es) da equação abaixo

a) é um ponto singular...

b) é um ponto singular...

Considere a equação diferencial ordinária:

1. Demonstre que x=0 é um ponto singular regular dessa equação.
2. Determine as raízes da equação indicial da equação diferencial.
3. Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potência em torno de x=0 da solução y(x) que corresponde à maior das duas raízes da equação indicial.

Resolva a equação de Euler

Seja

Escrevendo

(série de Frobenius), mostre que

Tomando no item (pode usá-lo sem o ter resolvido) obtenha que

é uma solução da equação . Faça todos os detalhes para chegar nessa fórmula, incluindo a relação de recorrência.

Sem usar testes de convergência, responda (use o Teorema de Frobenius): qual é o domínio da função no item ?

Não esqueça de justificar, com a matéria vista / cf. livro-texto.

Utilizando a teoria de séries de potência, obtenha a solução geral da EDO abaixo.

Seja

Escrevendo

(série de Frobenius), mostre que

Tomando no item (pode usá-lo sem o ter resolvido) obtenha que

é uma solução da equação . Faça todos os detalhes para chegar nessa fórmula, incluindo a relação de recorrência.

Sem usar testes de convergência, responda (use o Teorema de Frobenius): qual é o domínio da função no item ?

Não esqueça de justificar, com a matéria vista / cf. livro-texto.

Justifique porque não é um ponto ordinário para a equação

Mesmo assim, sem calcular, justifique por que ela possui uma solução em série de potências

e estime o raio de convergência de uma série destas. Calcule uma solução destas, determinando os coeficientes pelo menos para .

Dê a forma de uma segunda solução linearmente independente da solução mencionada no item a), num intervalo aberto contendo . (Não precisa calcular esta segunda solução. Apenas dê a forma. Não se esqueça de justificar.)

Considere a equação diferencial ordinária:

(b)Determine as raízes da equação indicial da equação diferencial.

Considere a equação diferencial

(a) Mostre que é ponto singular regular dessa equação.

(b) Calcule as raízes da equação indicial da equação.

(c) Obtenha a relação de recorrência da solução em série associada à maior das duas raízes encontradas no item (b) e calcule todos os coeficientes com índice ímpar.

Considere a equação diferencial ordinária:

1. Demonstre que é um ponto singular regular dessa equação.

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

Questão 2: Sabendo que é um ponto singular regular da EDO

Use o método de Frobenius e encontre a solução associada a maior raiz em torno de , indicando a equação indicial, as relações recorrência e o termo geral.

Questão 3: Considere a seguinte EDO de ordem

1. Mostre que é um ponto singular regular para a EDO dada.
2. Suponha que

Calcule as raízes da equação indicial.

3. Demonstre a relação de recorrência: .
4. Usando o item , use o método de Frobenius para obter a solução em série em torno de , correspondente à maior raiz.

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

Considere a equação de Chebyshev:

a) Mostre que é ponto singular regular

b) Determine as raízes da equação indicial no ponto

c) Determine a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de da solução que corresponde à maior das duas raízes da equação indicial

d) Determine os primeiros termos não nulos da solução encontrada no item e que, além disso, satisfaz

Considere a equação diferencial

a) Mostre que é ponto singular desta equação diferencial

b)Determine a relação de recorrência, a equação indicial e suas raízes

c)Determine a solução em série de Frobenius em torno de , correspondente a maior raiz da equação indicial. Determine a expressão do termo geral desta solução.

d)Qual é o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em c) ?