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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 9

Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.

x 3 . x 2 - 25 x - 2 2 y ' ' + 3 x x - 2 y ' + 7 x + 5 y = 0

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Antes, vamos lembrar que nossa equação pode ser escrita assim:

a 2 ( x ) y ' ' + a 1 ( x ) y ' + a 0 ( x ) y = 0

E que P x = a 1 x a 2 ( x ) e Q x = a 0 x a 2 ( x )

Para que x = x 0 seja um ponto singular regular, x - x 0 deve ter multiplicidade menor ou igual a 1 no denominador de P ( x ) e menor ou igual a 2 no denominador de Q ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar os pontos singulares, e aí depois vamos classificar em regulares ou irregulares.

Temos um ponto singular em:

x 3 . x 2 - 25 x - 2 2 = 0

x = 0 ,   x = 5 ,   x = - 5 ,   x = 2

Então, temos 4 pontos singulares: 0 ,   5 ,   - 5 ,   2 . Vamos lá classificar

Passo 3

Na nossa equação, temos

P x = 3 x . ( x - 2 ) x 3 . x 2 - 25 x - 2 2 = 3 x 2 . x + 5 . x - 5 . ( x - 2 )

Q x = 7 x + 5 x 3 . x 2 - 25 x - 2 2 = 7 ( x + 5 ) x 3 . x + 5 . x - 5 . ( x - 2 ) ² = 7 x 3 . x - 5 . ( x - 2 ) ²

x = 0 : multiplicidade 2 em P ( x ) e 3 em Q ( x ) : irregular

x = 5 : multiplicidade 1 em P ( x ) e 1 em Q ( x ) : regular

x = - 5 : multiplicidade 1 em P ( x ) e 0 em Q ( x ) : regular

x = 2 : multiplicidade 1 em P ( x ) e 2 em Q ( x ) : regular

Resposta

S i n g u l a r   r e g u l a r : x = 5 ,   - 5 ,   2

S i n g u l a r   i r r e g u l a r : x = 0

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