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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 10

Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.

x 3 - 2 x 2 - 3 x 2 y ' ' + x . x - 3 2 y ' - x + 1 y = 0

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Antes, vamos lembrar que nossa equação pode ser escrita assim:

a 2 ( x ) y ' ' + a 1 ( x ) y ' + a 0 ( x ) y = 0

E que P x = a 1 x a 2 ( x ) e Q x = a 0 x a 2 ( x )

Para que x = x 0 seja um ponto singular regular, x - x 0 deve ter multiplicidade menor ou igual a 1 no denominador de P ( x ) e menor ou igual a 2 no denominador de Q ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar os pontos singulares, e aí depois vamos classificar em regulares ou irregulares.

Temos um ponto singular em:

x 3 - 2 x 2 - 3 x 2 = 0

x . x 2 - 2 x - 3 2 = 0

x = 0 ,   x = - 1 ,   x = 3

Então, temos 3 pontos singulares: 0 ,   - 1 ,   3 . Vamos lá classificar

Passo 3

Na nossa equação, temos

P x = x . x - 3 2 x 3 - 2 x 2 - 3 x 2 = x . ( x - 3 ) ² x 2 . x + 1 2 . ( x - 3 ) ² = 1 x . ( x + 1 ) ²

Q x = - x + 1 x 3 - 2 x 2 - 3 x 2 = - ( x + 1 ) x 2 . x + 1 2 . ( x - 3 ) ² = - 1 x 2 . ( x + 1 ) . ( x - 3 ) ²

x = 0 : multiplicidade 1 em P ( x ) e 2 em Q ( x ) : regular

x = - 1 : multiplicidade 2 em P ( x ) e 1 em Q ( x ) : irregular

x = 3 : multiplicidade 0 em P ( x ) e 2 em Q ( x ) : regular

Resposta

S i n g u l a r   r e g u l a r : x = 0 ,   3

S i n g u l a r   i r r e g u l a r : x = - 1

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