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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 18

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x = x + 3 y 3 x + y

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Primeiro vamos escrever dessa forma aqui:

3 x + y d y = x + 3 y d x

Bom, aqui dá no mesmo, então vamos fazer y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

3 x + u x u   d x + x   d u = x + 3 u x d x

3 u x d x + 3 x 2 d u + u 2 x d x + u x 2 d u = x   d x + 3 u x   d x

3 x 2   d u + u 2 x   d x + u x 2 d u = x   d x

3 x   d u + u 2   d x + u x   d u = d x

x d u 3 + u = 1 - u 2 d x

3 + u 1 - u 2 d u = d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ 3 + u 1 - u 2 d u = ∫ d x x

∫ 3 + u 1 - u 1 + u   d u = ∫ d x x

2 ln ⁡ | u - 1 | - ln ⁡ u + 1 + ln ⁡ | x | = C

ln ⁡ x u - 1 2 - ln ⁡ u + 1 = C

ln ⁡ x u - 1 2 u + 1 = C

Aplicando exponencial em tudo...

e ln ⁡ x u - 1 2 u + 1 = e C

x u - 1 2 u + 1 = C 1

Como y = u x , temos u = y x :

x y x - 1 2 y x + 1 = C 1

x y - x x 2 = C 1 y + x x

y - x 2 = C 1 ( y + x )

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

y - x 2 = C 1 ( y + x )

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