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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 48

Seja f ( x , y ) uma função homogênea de grau n . Mostre que:

x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) = n f

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, se pegarmos u = (y)/(x) , por homogeneidade, temos que:

f (x , y) = x^n f (1 , (y)/(x)) = x^n f ( 1 , u )

Agora, aplicando as regras de derivação parcial, temos:

(del f)/(del x) = x^n (del f (1 , u))/(del u) (del u)/(del x) + n x^(n - 1) f (1 , u) = x^n (del f (1 , u))/(del u) (- (y)/(x^2)) + n x^(n - 1) f ( 1 , u )

= - y x^(n - 2) (del f (1 , u))/(del u) + n x^(n - 1) f ( 1 , u )

Passo 2

Derivando em y agora:

(del f)/(del y) = x^n (del f (1 , u))/(del u) (del u)/(del y) = x^n (del f (1 , u))/(del u) ((1)/(x)) = x^(n - 1) (del f (1 , u))/(del u)

Substituindo isso na equação da questão...

x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) = n f

= - y x^(n - 1) (del f (1 , u))/(del u) + n x^n f (1 , u) + y x^(n - 1) (del f (1 , u))/(del u)

n x^n f (1 , u) = n x^n f (1 , (y)/(x)) = n f (x , y)

E assim provamos o que a questão pedia😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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