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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 42

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x + y 2 d x = x   d y ;     y 1 = 0  

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x + y 2 d x = x   d y

Vemos que a parte N ( x , y ) é simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x + y 2 d x = x   d y

x + u x 2 d x = x u   d x + x   d u

x   d x + 2 x u d x + u x   d x = u x   d x + x 2 d u

x   d x + 2 x   u   d x = x 2 d u

d x + 2 u   d x = x   d u

d x 1 + 2 u = x   d u

d x x = d u 1 + 2 u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ d u 1 + 2 u

ln ⁡ | x | = 1 2 ln ⁡ | 1 + 2 u | + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | = 1 2 ln ⁡ | 1 + 2 y x | + C

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 0 , então vamos substituir isso na equação:

ln ⁡ | x | = 1 2 ln ⁡ | 1 + 2 y x | + C

ln ⁡ 1 = 1 2 ln ⁡ 1 + 2   0 1 + C

0 = 1 2 ln ⁡ | 1 | + C

C = 0

Então a solução do problema de valor inicial é:

ln ⁡ | x | = 1 2 ln ⁡ | 1 + 2 y x |

Prontinho! 😉

Resposta

ln ⁡ | x | = 1 2 ln ⁡ | 1 + 2 y x |

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