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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 44

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

d y d x - y x = cosh ⁡ y x ;     y 1 = 0  

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

d y d x - y x = cosh ⁡ y x

d y d x = cosh ⁡ y x + y x

d y d x = x cosh ⁡ y x + y x

x cosh ⁡ y x + y d x = x   d y

Vemos que a parte N ( x , y ) é simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x cosh ⁡ y x + y d x = x   d y

x cosh ⁡ u + u x d x = x ( u   d x + x   d u )

x cosh ⁡ u d x + u x   d x = u x   d x + x 2 d u

x cosh ⁡ u d x = x 2 d u

cosh ⁡ u   d x = x   d u

d x x = d u cosh ⁡ u

d x x = sech ⁡ u   d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ sech ⁡ u d u

ln ⁡ | x | = a r c t g   ( sen ⁡ u ) + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | - a r c t g   sen ⁡ y x = C

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 0 , então vamos substituir isso na equação:

ln ⁡ | x | - a r c t g   sen ⁡ y x = C

ln ⁡ 1 - a r c t g   ( sen ⁡ 0 ) = C

0 - a r c t g   0 = C

C = 0

Então a solução do problema de valor inicial é:

ln ⁡ | x | - a r c t g   sen ⁡ y x = 0

Prontinho! 😉

Resposta

ln ⁡ | x | - a r c t g   sen ⁡ y x = 0

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Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. x 2 + 2 y 2 d x = x yd y , y - 1 = 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x yd x - x 2 d y = y x 2 + y 2d y ; y 0 = 1
Suponha que M x , y d x + N x , y d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a equação pode ser escrita na forma alternativa d y d x = G x , y .
Suponha que M x , y d x + N x , y d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = r cos ⁡ θ ,y = r sen ⁡ θ transforma a equação separável.