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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 3

Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.

x 3 y - x 2 y 2 x + 8 y 2

Passo 1

E aí, tudo beleza?

É o seguinte: pra uma função ser homogênea, a gente precisa que aconteça isso aqui:

f t x ,   t y = t n f ( x , y )

E aí o grau de homogeneidade é dado pelo expoente n , ok?

Bora ver isso na nossa então!

Passo 2

Nossa função é:

f x , y = x 3 y - x 2 y 2 x + 8 y 2

Então...

f t x , t y =   t x 3 t y - t x 2 t y 2 t x + 8 t y 2

f t x , t y = t 4 x 3 y - t 4 x 2 y 2 t x + 8 y 2

f t x , t y = t 4 x 3 y - x 2 y 2 t 2 x + 8 y 2  

f t x , t y = t 2 x 3 y - x 2 y 2 x + 8 y 2

Opa! Então a gente encontrou que:

f t x ,   t y = t 2 f ( x , y )

Ou seja, nossa função é homogênea, de grau 2 😉

Resposta

Homogênea, de grau 2 .

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