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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 21

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

2 x 2 y   d x = 3 x 3 + y 3 d y

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

2 x 2 y   d x = 3 x 3 + y 3 d y

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

2 v 2 y 3   v   d y + y   d v = 3 v 3 y 3 + y 3 d y

2 v 3 y 3   d y + 2 v 2 y 4 d v = 3 v 3 y 3 d y + y 3 d y

2 v 3 d y + 2 v 2 y   d v = 3 v 3 d y + d y

y d v 2 v 2 = d y v 3 + 1

2 v 2     v 3 + 1 d v = d y y

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ 2 v 2 v 3 + 1   d v = ∫ d y y

= 2 3 ln ⁡ | v 3 + 1 | = ln ⁡ | y | + C

ln ⁡ v 3 + 1 2 3 y = C

e ln ⁡ v 3 + 1 2 3 y = e C

v 3 + 1 2 3 y = C 1

v 3 + 1 2 3 = C 1 y

E como x = v y → v = x y , temos:

x y 3 + 1 2 3 = C 1 y

x 3 y 3 + 1 2 = C 2 y 3

x 3 + y 3 y 3 2 = C 2 y 3

x 3 + y 3 2 y 6 = C 2 y 3

x 3 + y 3 2 = C 2 y 9

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

x 3 + y 3 2 = C 2 y 9

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Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x + y 2 - x y d y d x = y ; y 1 2 = 1