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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 36

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y   d x + y cos ⁡ y x - x d y = 0 ;     y 0 = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver essa equação aí!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

y   d x + y cos ⁡ y x - x d y = 0

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y   d x + y cos ⁡ y x - x d y = 0

y   v   d y + y   d v + y c o s   v - v y d y = 0

y v   d y + y 2 d v + y c o s   v   d y - v y   d y = 0

y   d v + cos ⁡ v   d y = 0

y   d v = - cos ⁡ v   d y

d v - cos ⁡ v = d y y

- s e c   v   d v = d y y

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ - s e c   v   d v = ∫ d y y

- ln ⁡ | s e c   v + tg ⁡ v | = ln ⁡ | y | + C

ln ⁡ ( s e c   v + tg ⁡ v ) y = C

y ( s e c   v + tg ⁡ v ) = c 1

y ( s e c   v + tg ⁡ v ) = c 1  

E como x = v y → v = x y , temos:

y s e c x y + tg ⁡ x y = c 1

Beleza! Achamos nossa solução geral, agora vamos encontrar esse C para resolver o problema de valor inicial...

Passo 4

A questão nos deu que y 0 = 2 , então vamos substituir isso na equação...

2 s e c 0 2 + tg ⁡ 0 2 = c 1

2 ( s e c   0 + tg ⁡ 0 ) = c 1

2 ( 1 + 0 ) = c 1

c 1 = 2

Então a solução para o problema inicial é:

y s e c x y + tg ⁡ x y = 2

Prontinho! 😉

Resposta

y s e c x y + tg ⁡ x y = 2

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