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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 10

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .

x 2 + 1 y ' ' - 6 x y = 0

Passo 1

Salve salveeee, vamos lá!

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO, mas isso tem que ser em torno do ponto ordinário x = 0 , certo?

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

x 2 + 1 y ' ' - 6 x y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n + ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 - 6 ∑ n = 0 ∞ c n . x n

Para a primeira somatória, usando as técnicas que vimos na seção anterior, temos k = n , na segunda somatória temos k = n - 2 e na terceira somatória temos k = n . Então isso vai ficar assim olha:

x 2 + 1 y ' ' - 6 x y = ∑ k = 2 ∞ k . k - 1 . c k . x k + ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - 6 ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Agora vamos lá desenvolver isso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

x 2 + 1 y ' ' - 6 x y = ∑ k = 2 ∞ k . k - 1 . c k . x k + ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - 6 ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo essas somatórias, temos

x 2 + 1 y ' ' - 6 x y = ∑ k = 2 ∞ k - 3 . ( k - 2 ) . c k + k + 2 . k + 1 . c k + 2 x k + 2 c 2 - 6 c 0 + 6 c 3 - 6 c 1 x

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

6 c 3 - 6 c 1 = 0

2 c 2 - 6 c 0 = 0

k - 3 . k - 2 . c k + k + 2 . k + 1 . c k + 2 = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = 3 c 0

E:

c 3 = c 1

Além disso, da terceira igualdade temos:

c k + 2 = - k - 3 k + 1 c k ,   k = 2,3 , 4,5 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = 3 c 0

c 3 = c 1

c k + 2 = - k - 3 k + 1 c k ,   k = 2,3 , 4,5 …

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos:

c 2 = 3

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1

c 6 = - 1 5

Então já temos uma solução, que é

y 1 = 1 + 3 x 2 + 1 x 4 - 1 5 x 6 + …

Agora vamos fazer c 0 = 0 e c 1 = 1 , aí temos:

c 2 = c 4 = c 6 = … = 0

c 3 = 1

c 5 = c 7 = c 9 = … = 0

O que nos dá a segunda solução:

y 2 = x + x ³

Ufaaa, e fim!!

Resposta

y 1 = 1 + 3 x 2 + 1 x 4 - 1 5 x 6 + …

y 2 = x + x ³

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