Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 12
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .
Passo 1
Salve salveeee, vamos lá!
Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO, mas isso tem que ser em torno do ponto ordinário , certo?
Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em , isso nos dá:
Para a primeira somatória, usando as técnicas que vimos na seção anterior, temos , na segunda somatória temos , na terceira somatória temos e na quarta somatória temos Então isso vai ficar assim olha:
Agora vamos lá desenvolver isso aí
Passo 2
Onde paramos mesmo?
Aee, beleza
Olha lá, desenvolvendo essas somatórias, temos
Gente do céu que monstrinho é esse
Vamos organizar isso aí
Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:
Belezinha, então, a gente pode dizer que:
E:
Além disso, da terceira igualdade temos:
Agora vamos escolher valores de constantes beleza?
Passo 3
Temos:
Fazendo e , temos:
Então já temos uma solução, que é
Agora vamos fazer e , aí temos:
O que nos dá a segunda solução:
Ufaaa, e fim!!