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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 13

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .

y ' ' - x + 1 y ' - y = 0

Passo 1

Salve salveeee, vamos lá!

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO, mas isso tem que ser em torno do ponto ordinário x = 0 , certo?

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' - x + 1 y ' - y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ c n . x n

Para a primeira somatória, usando as técnicas que vimos na seção anterior, temos k = n - 2 , na segunda somatória temos k = n , na terceira somatória temos k = n - 1 e na quarta somatória temos k = n Então isso vai ficar assim olha:

y ' ' - x + 1 y ' - y = ∑ k = 0 ∞ k + 2 . ( k + 1 ) . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ k . c k . x k - ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) . c k + 1 . x k - ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Agora vamos lá desenvolver isso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

y ' ' - x + 1 y ' - y = ∑ k = 0 ∞ k + 2 . ( k + 1 ) . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ k . c k . x k - ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) . c k + 1 . x k - ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo essas somatórias, temos

y ' ' - x + 1 y ' - y = ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 1 . c k + 2 - k + 1 . c k + 1 - k + 1 c k x k + 2 c 2 - c 1 - c 0

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

2 c 2 - c 1 - c 0 = 0

k + 2 k + 1 . c k + 2 - k + 1 . c k + 1 - k + 1 c k = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = c 1 + c 0 2

E também:

c k + 2 = c k + 1 + c k k + 2 ,   k = 1 , 2,3 , 4,5 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = c 1 + c 0 2

c k + 2 = c k + 1 + c k k + 2 ,   k = 1 , 2,3 , 4,5 …

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos:

c 2 = 1 2

c 3 = 1 6

c 4 = 1 6

Então já temos uma solução, que é

y 1 = 1 + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + 1 6 x 4 + …

Agora vamos fazer c 0 = 0 e c 1 = 1 , aí temos:

c 2 = 1 2

c 3 = 1 2

c 4 = 1 4

O que nos dá a segunda solução:

y 2 = x + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 + 1 4 x 4 + …

Ufaaa, e fim!!

Resposta

y 1 = 1 + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + 1 6 x 4 + …

y 2 = x + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 + 1 4 x 4 + …

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Nos problemas 19-22, use o procedimento ilustrado no exemplo 9 para encontrar duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x = 0 y ' ' + e x y ' -
Nos problemas 19-22, use o procedimento ilustrado no exemplo 9 para encontrar duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x = 0 y ' ' + e - x y =
Nos problemas 19-22, use o procedimento ilustrado no exemplo 9 para encontrar duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x = 0 y ' ' + s e nx y =