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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 30

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

2 y ' ' + y ' = 0

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

2 y ' ' + y ' = 0

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

2 y ' ' + y ' = 0

Vamos montar a equação auxiliar:

2 m 2 + m = 0

m 2 m + 1 = 0

m = 0 ,   m = - 1 2

Então, nossa solução geral é

y = c 1 + c 2 e - x 2

E encontramos nossa solução :P

Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

2 y ' ' + y ' = 2 ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 c n . x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n c n . x n - 1

No primeiro somatório, vamos fazer k = n - 2   e no outro vamos deixar k = n - 1

2 y ' ' + y ' = 2 ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 . x k + ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) c k + 1 . x k

Isso é:

2 y ' ' + y ' = ∑ k = 0 ∞ [ 2 ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 + k + 1 c k + 1 ] . x k = 0

Então temos

2 ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 + k + 1 c k + 1 = 0

c k + 2 = - c k + 1 2 ( k + 2 ) ,   k = 0,1 , 2 …

Dessa forma, encontramos

c 2 = - 1 2 1 2 c 1

c 3 = 1 2 2 . 1 3.2 c 1

c 4 = 1 2 3 1 4 ! c 1

Então, nossa solução é

y = c 0 + c 1 x - 1 2 1 2 c 1 x 2 + 1 2 2 . 1 3 ! c 1 x 3 + 1 2 3 1 4 ! c 1 x 4 + …

Fazendo c 0 = C 0 - 2 c 1 e c 1 = - 1 2 C 1 :

y = C 0 + C 1 - 1 2 C 1 x + 1 2 . 1 2 . 1 2 C 1 x 2 - 1 2 2 3 ! . 2 C 1 x 3 + …

Que pode ser escrito assim:

y = C 0 + C 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! - x n n

Que é:

y = C 0 + C 1 . e - x 2

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = C 0 + C 1 . e - x 2

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