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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 23

Nos problemas 23 e 24, use o método de séries de potências para resolver a equação não homogênea

y ' ' - x y = 1

Passo 1

Vamos lááá

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO em torno de x = 0

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' - x y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ c n . x n + 1

E aí na primeira somatória, temos k = n - 2 e na segunda temos k = n + 1 :

y ' ' - x y = ∑ n = 2 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ c k - 1 . x k

Eita, vamos dar uma arrumada nisso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

y ' ' - x y = ∑ n = 2 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ c k - 1 . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo isso tudo aí, temos

y ' ' - x y = ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 1 . c k + 2 + c k - 1 x k + 2 c 2 = 1

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

2 c 2 = 1

k + 2 k + 1 . c k + 2 + c k - 1 = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = 1 2

c k + 2 = c k - 1 ( k + 2 ) ( k + 1 ) ,   k = 1,2 , 3 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = 1 2

c k + 2 = c k - 1 ( k + 2 ) ( k + 1 ) ,   k = 1,2 , 3 …

Mantendo c 0 e c 1 arbitrários, encontramos

c 2 = 1 2

c 3 = 1 6 c 0

c 4 = 1 12 c 1

c 5 = 1 40

O que nos dá:

y = c 0 . 1 + 1 6 x 3 + … + c 1 x + 1 12 x 4 + … + 1 2 x 2 + 1 40 x 5 + …

Resposta

y = c 0 . 1 + 1 6 x 3 + … + c 1 x + 1 12 x 4 + … + 1 2 x 2 + 1 40 x 5 + …

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Use as séries de potência para resolver a equação diferencial.7- x 2 + 1 y ' ' + x y ' - y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 14:Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.Encontre os quatro primeiros termo
Mostre diretamente, usando o teste da razão, que as duas soluções em série em torno do ponto x = 0 da equação de Airy convergem para todo x ; veja a Eq. (20) do texto.
Em cada um dos problemas de 15 a 18:Encontre os cinco primeiros termos não nulos na solução do problema de valor inicial dado.Faça gráficos das aproximações da solução com quatro e cinco termos no mes