Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c₁ e c₂ são constantes).

(x^2 + y^2) dx + (x^2 - xy) dy = 0; c1 (x + y)^2 = x * e^(y/x)

Passo 1

Fala aí, tudo bem?

Aqui pra começar, temos que escrever a equação da forma diferencial. Pra isso, vamos dividir tudo por d x :

x 2 + y 2 d x d x + x 2 - x y d y d x = 0

x 2 + y 2 + x 2 - x y d y d x = 0   ( * )

Beleza, agora a gente precisa descobrir o que é d y d x . Pra isso a gente tem que derivar implicitamente a expressão c 1 x + y 2 = x e y x . Bora lá!

Passo 2

Derivando implicitamente a expressão c 1 x + y 2 = x e y x :

2 c 1 x + y 1 + d y d x = e y x + x e y x x d y d x - y x 2

2 c 1 x + y + 2 c 1 x + y d y d x = e y x + e y x d y d x - y e y x x

d y d x 2 c 1 x + y - e y x = e y x - y e y x x - 2 c 1 ( x + y )

d y d x =   e y x - y e y x x - 2 c 1 ( x + y ) 2 c 1 x + y - e y x

Ficou lindona hein? Vamos tentar dar uma melhorada nisso...

Passo 3

d y d x =   e y x - y e y x x - 2 c 1 ( x + y ) 2 c 1 x + y - e y x

Dividindo tudo por e y x :

d y d x = 1 - y x - 2 c 1 x + y e y x 2 c 1 x + y e x / y - 1

E a gente tem: c 1 x + y 2 = x e y x → e y x = c 1 x + y 2 x . Substituindo:

d y d x = 1 - y x - 2 c 1 x + y c 1 x + y 2 x 2 c 1 x + y c 1 x + y 2 x - 1

d y d x = 1 - y x - 2 x x + y 2 x x + y - 1

d y d x = x x + y - y x + y - 2 x ⋅ x x x + y 2 x ⋅ x - x ( x + y ) x x + y

d y d x = x 2 + x y - y x - y 2 - 2 x 2 2 x 2 - x 2 - x y

d y d x = - x 2 - y 2 x 2 - x y

E olha só, lá na equação ( * ) do passo 1, temos:

x 2 + y 2 + x 2 - x y d y d x = 0

d y d x =   - x 2 - y 2 x 2 - x y

Veja então que encontramos o mesmo resultado, ou seja, a função é uma solução! 😉

Resposta

É solução.

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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c₁ e c₂ são constantes).x * (d^2y) / (d^2x) + 2 * (dy / dx) = 0; y = c1 + c2 * x^(-1)
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c₁ e c₂ são constantes).y'' = y; y = cosh(x) + sinh(x)
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c₁ e c₂ são constantes).y'' + y' - 12y = 0; y = c1 * e^(3x) + c2 * e^(-4x)
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c1 * e * c2 são constantes).y'' + (y')^2 = 0; y = ln(|x + c1|) + c2
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c₁ * e * c₂ são constantes).y'' + 25y = 0; y = c1 * cos(5x)