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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 27

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

x 2 + y 2 d x + x 2 - x y d y = 0 ;       c 1 x + y 2 = x e y x

Passo 1

Fala aí, tudo bem?

Aqui pra começar, temos que escrever a equação da forma diferencial. Pra isso, vamos dividir tudo por d x :

x 2 + y 2 d x d x + x 2 - x y d y d x = 0

x 2 + y 2 + x 2 - x y d y d x = 0   ( * )

Beleza, agora a gente precisa descobrir o que é d y d x . Pra isso a gente tem que derivar implicitamente a expressão c 1 x + y 2 = x e y x . Bora lá!

Passo 2

Derivando implicitamente a expressão c 1 x + y 2 = x e y x :

2 c 1 x + y 1 + d y d x = e y x + x e y x x d y d x - y x 2

2 c 1 x + y + 2 c 1 x + y d y d x = e y x + e y x d y d x - y e y x x

d y d x 2 c 1 x + y - e y x = e y x - y e y x x - 2 c 1 ( x + y )

d y d x =   e y x - y e y x x - 2 c 1 ( x + y ) 2 c 1 x + y - e y x

Ficou lindona hein? Vamos tentar dar uma melhorada nisso...

Passo 3

d y d x =   e y x - y e y x x - 2 c 1 ( x + y ) 2 c 1 x + y - e y x

Dividindo tudo por e y x :

d y d x = 1 - y x - 2 c 1 x + y e y x 2 c 1 x + y e x / y - 1

E a gente tem: c 1 x + y 2 = x e y x → e y x = c 1 x + y 2 x . Substituindo:

d y d x = 1 - y x - 2 c 1 x + y c 1 x + y 2 x 2 c 1 x + y c 1 x + y 2 x - 1

d y d x = 1 - y x - 2 x x + y 2 x x + y - 1

d y d x = x x + y - y x + y - 2 x ⋅ x x x + y 2 x ⋅ x - x ( x + y ) x x + y

d y d x = x 2 + x y - y x - y 2 - 2 x 2 2 x 2 - x 2 - x y

d y d x = - x 2 - y 2 x 2 - x y

E olha só, lá na equação ( * ) do passo 1, temos:

x 2 + y 2 + x 2 - x y d y d x = 0

d y d x =   - x 2 - y 2 x 2 - x y

Veja então que encontramos o mesmo resultado, ou seja, a função é uma solução! 😉

Resposta

É solução.

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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0 ;y = c 1 + c 2 x - 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' = y ;y = cosh ⁡ x+ s e n hx
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + y ' - 12 y = 0 ; y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + y ' 2 = 0 ;y = ln ⁡ | x + c 1 | + c 2
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' ' + 25 y = 0 ;y = c 1 cos ⁡ 5 x