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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 33

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

y ' ' + y ' 2 = 0 ;       y = ln ⁡ | x + c 1 | + c 2

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a gente quer saber se   y = ln ⁡ | x + c 1 | + c 2   é solução da equação y ' ' + y ' 2 = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é   y ' e   y ' ' . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = ln ⁡ x + c 1 + c 2  

Derivando:

y ' = 1 x + c 1

Derivando de novo...

y ' ' =   - 1 x + c 1 2

Beleza! Agora vamos substituir isso tudo na equação!

Passo 3

Substituindo aqui:

y ' ' + y ' 2 = 0

- 1 x + c 1 2 + 1 x + c 1 2 = 0  

0 = 0

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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Nos problemas 49 e 50, encontre valores de m para que y = x m seja uma solução para cada equação diferencial. x 2 y ' ' - y ' = 0
Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada. d y d x + y = 0 d y d x + y + 1 = 0 d y d x + y = 1
Nos problemas 49 e 50, encontre valores de m para que y = x m seja uma solução para cada equação diferencial. x 2 y ' ' - 6 x y ' + 4 y = 0
Nos problemas 47 e 48, encontre valores de m para que y = e m x seja uma solução para cada equação diferencial. y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0
Mostre que y 1 = 2 x + 2ey 2 = - x 2 2 são ambas soluções para y = x y ' + y ' 2 2 As funções c 1 y 1ec 2 y 2 , com c 1 ec 2 constantes arbitrárias são também soluções? A soma y 1 + y 2 é uma solução?