Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - 7 x y ' + 41 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' - 7 x y ' + 41 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' - 7 x y ' + 41 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - 7 x m x m - 1 + 41 x m = 0

m 2 x m - m x m - 7 m x m + 41 x m = 0

x m m 2 - 8 m + 41 = 0

Daqui a gente tem que   m 2 - 8 m + 41 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 8 m + 41 = 0

Δ = - 8 2 - 4 1 41 = - 100

m 1 = 8 + - 100 2 = 4 + 5 i

m 2 = 4 - 5 i

Temos duas raízes complexas, então a solução é dessa forma:

y = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β a parte imaginária...

Nossa solução então é:

y = x 4 c 1 cos ⁡ 5 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 5 ln ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = x 4 c 1 cos ⁡ 5 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 5 ln ⁡ x

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