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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 40

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t .

x 3 d 3 y d x 3 - 3 x 2 d 2 y d x 2 + 6 x d y d x - 6 y = 3 + ln ⁡ x 3

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x 3 d 3 y d x 3 - 3 x 2 d 2 y d x 2 + 6 x d y d x - 6 y = 3 + ln ⁡ x 3

Fazendo a substituição x = e t :

e 3 t y ' ' ' - 3 e 2 t y ' ' + 6 e t y ' - 6 y = 3 + 3 t

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t = 1 e t d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t

E:

d 3 y d t 3 = 1 e 3 t d 3 y d t 3 - 3 d 2 y d t 2 + 2 d y d t

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

e 3 t y ' ' ' - 3 e 2 t y ' ' + 6 e t y ' - 6 y = 3 + t 3

e 3 t 1 e 3 t d 3 y d t 3 - 3 d 2 y d t 2 + 2 d y d t - 3 e 2 t 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t + 6 e t 1 e t d y d t - 6 y = 3 + t 3

d 3 y d t 3 - 3 d 2 y d t 2 + 2 d y d t - 3 d 2 y d t 2 - d y d t + 6 d y d x - 6 y = 3 + 3 t

y ' ' ' - 6 y ' ' + 11 y ' + 6 y = 3 + 3 t

Nossa equação homogênea associada então é:

y ' ' ' - 6 y ' ' + 11 y ' + 6 y = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 3 - 6 m 2 + 11 m + 6 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = 1     ,   m 2 = 2   e   m 3 = 3

A solução geral então é:

y g = c 1 e t + c 2 e 2 t + c 3 e 3 t

Beleza, vamos pra parte não homogênea agora...

Passo 4

Bom, olhando o que a gente tem do lado direito, vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A + B t

Aí a gente vai encontrar esse coeficiente A . Pra isso a gente tem que substituir na EDO. Vamos descobrir as derivadas:

y p ' = B

y p ' ' = 1

y p ' ' ' = 0

Substituindo:

y ' ' ' - 6 y ' ' + 11 y ' + 6 y = 3 + 3 t

0 - 6 + 11 B + 6 A + B t = 3 + 3 t

6 A + 6 B t + 11 B - 6 = 3 + 3 t

Daí a gente tira que:

A = - 1 7 12

B = - 1 2

y p = - 17 12 - 1 2 t

Passo 5

Nossa solução então é:

y = y g + y p

y = c 1 e t + c 2 e 2 t + c 3 e 3 t - 17 12 - 1 2 t

E como x = e t , temos t = ln ⁡ x . E a nossa solução é:

y = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 - 17 12 - 1 2 ln ⁡ x

e... acabamos!

Resposta

y = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 - 17 12 - 1 2 ln ⁡ x

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