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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 21

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

1 - 2 x 2 - 2 y d y d x = 4 x 3 + 4 x y

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 1 - 2 x 2 - 2 y d y d x = 4 x 3 + 4 x y é exata

Temos que escrever essa equação no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , para isso, vamos multiplicar tudo por d x :

1 - 2 x 2 - 2 y d y = 4 x 3 + 4 x y d x

4 x 3 + 4 x y d x - 1 - 2 x 2 - 2 y d y = 0

Então, temos M x , y = 4 x 3 + 4 x y e N x , y = - 1 - 2 x 2 - 2 y = 2 x 2 + 2 y - 1

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 4 x 3 + 4 x y   ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 4 x

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( 2 x 2 + 2 y - 1 ) ∂ x

∂ N ∂ x = 4 x

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 4 x

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

4 x 3 + 4 x y d x - 1 - 2 x 2 - 2 y d y = 0

Com M x , y = 4 x 3 + 4 x y e N x , y = 2 x 2 + 2 y - 1

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 4 x 3 + 4 x y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 4 x 3 + 4 x y   d x + g ( y )

Temos ∫ 4 x 3 + 4 x y   d x = 4 ∫ x 3 + x y   d x = 4 . x 4 4 + y x 2 2 = x 4 + 2 y x 2 + C

f = x 4 + 2 y x 2 + g y   ( I )

Passo 5

Temos

f = x 4 + 2 y x 2 + g y   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 2 x 2 + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 2 x 2 + 2 y - 1 :

∂ f ∂ y = 2 x 2 + g ' ( y ) = 2 x 2 + 2 y - 1

Então:

g ' y = 2 y - 1

Integrando em relação a y :

g y = y 2 - y   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = x 4 + 2 y x 2 + y 2 - y

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x 4 + 2 y x 2 + y 2 - y   = c

Resposta

É   e x a t a

x 4 + 2 y x 2 + y 2 - y   = c

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x 2 y + x y - y + x 2 y - 2 x 2 d y d x = 0
d y d x = - 2 x y + 1 x 2 + 2 y
d y d x = e - x cos ⁡ y - e 2 y cos ⁡ x - e - x s e ny + 2 e 2 y s e nx
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. e )( x + y )d x + ( y - x ) d y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. xd x + yd y + zd z