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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 9

(d y)/(d x) = - (2 x y + 1)/(x^2 + 2 y)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

(2 x y + 1) d x + ( x^2 + 2 y ) d y = 0

Assim tome

(del (x^2 + 2 y))/(del x) - (del (2 x y + 1))/(del y) = 2 x - 2 x = 0

Ou seja, nossa função é exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = 2 x y + 1

E

(del varphi)/(del y) = x^2 + 2 y

Assim temos que

varphi = int (2 x y + 1) d x = x^2 y + x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar x^2 + 2 y como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (x^2 y + x + C ( y )) = x^2 + C^' (y) = x^2 + 2 y

Desta forma temos que C^' (y) = 2 y -> C (y) = y^2 + C e nossa solução é

varphi (x , y) = x^2 y + x + y^2 + C = 0

Resposta

varphi (x , y) = x^2 y + x + y^2 + C = 0

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