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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 16

(d y)/(d x) = (e^(- x) cos y - e^(2 y) cos x)/(- e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Como este é um problema que não podemos usar a ideia de separação de variáveis, vamos ajeitá-lo para verificar se a equação é exata.

Assim temos

(e^(2 y) cos x - e^(- x) cos y) d x + (- e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x) d y = 0

Assim temos que

(del)/(del x) (- e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x) = e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) cos x = (del)/(del y) (e^(2 y) cos x - e^(- x) cos y)

Ou seja, nossa equação é dita exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = e^(2 y) cos x - e^(- x) cos y

E

(del varphi)/(del y) = - e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x

Assim temos que

varphi = int (e^(2 y) cos x - e^(- x) cos y) d x = e^(2 y) s e n x + e^(- x) cos y + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar - e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (e^(2 y) s e n x + e^(- x) cos y + C ( y )) = 2 e^(2 y) s e n x - e^(- x) s e n y + C^' (y) = - e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C e nossa solução é

varphi (x , y) = e^(2 y) s e n x + e^(- x) cos y + C = 0

Resposta

e^(2 y) s e n x + e^(- x) cos y + C = 0

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