(x^2y + xy - y) + (x^2y - 2x^2) dy/dx = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

x 2 y + x y - y d x + ( x 2 y - 2 x 2 ) d y = 0

Vamos dividir tudo por x 2 y , ficamso com

1 + 1 x - 1 x 2 d x + 1 - 2 y d y = 0

Assim tome

∂ 1 - 2 y ∂ x - ∂ 1 + 1 x - 1 x 2 ∂ y = 0

Ou seja, nossa função é exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = 1 + 1 x - 1 x 2

E

∂ ϕ ∂ y = 1 - 2 y

Assim temos que

ϕ = ∫ 1 + 1 x - 1 x 2 d x = x + ln ⁡ x + 1 x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar 1 - 2 / y como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x + ln ⁡ x + 1 x + C ( y ) = C ' y = 1 - 2 / y

Desta forma temos que C y = y - ln ⁡ y 2 + C e nossa solução é

ϕ x , y = x + ln ⁡ x + 1 x + - ln ⁡ y 2 + C = 0

Resposta

ϕ x , y = x + ln ⁡ x + 1 x + - ln ⁡ y 2 + C = 0

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