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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 10

(x^2 y + x y - y) + (x^2 y - 2 x^2) (d y)/(d x) = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

(x^2 y + x y - y) d x + ( x^2 y - 2 x^2 ) d y = 0

Vamos dividir tudo por x^2 y , ficamso com

(1 + (1)/(x) - (1)/(x^2)) d x + (1 - (2)/(y)) d y = 0

Assim tome

(del (1 - (2)/(y)))/(del x) - (del (1 + (1)/(x) - (1)/(x^2)))/(del y) = 0

Ou seja, nossa função é exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = 1 + (1)/(x) - (1)/(x^2)

E

(del varphi)/(del y) = 1 - (2)/(y)

Assim temos que

varphi = int (1 + (1)/(x) - (1)/(x^2)) d x = x + ln x + (1)/(x) + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar 1 - 2 // y como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (x + ln x + (1)/(x) + C ( y )) = C^' (y) = 1 - 2 // y

Desta forma temos que C (y) = y - ln y^2 + C e nossa solução é

varphi (x , y) = x + ln x + (1)/(x) + - ln y^2 + C = 0

Resposta

varphi (x , y) = x + ln x + (1)/(x) + - ln y^2 + C = 0

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