Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 1i

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

i )   - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2 d y ,   x , y ∈ Ω ,   onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y > 0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x < 0 }

Passo 1

Pra ser exata, a gente tem uma condição necessária pra satisfazer, sendo P o termo que acompanha d x e Q o que acompanha d y :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Vamos verificar isso então:

- 1 x 2 + y 2 - 2 y ( - y ) x 2 + y 2 2 = 1 x 2 + y 2 - 2 x ( x ) x 2 + y 2 2

- x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

= y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Bom, então aqui tá ok, a condição necessária foi satisfeita. Vamos achar a primitiva dessa função agora.

Passo 2

Integrando cada termo em relação a variável d x   a   g e n t e   i n t e g r a   e m   x ,   e   a s s i m   p o r   d i a n t e a gente vai ter:

φ x , y = ∫ - y x 2 + y 2     d x = - a r c t g x y + A ( y )

φ x , y = ∫ x x 2 + y 2     d y = a r c t g y x + B ( x )

Nesse caso a gente tem que π 2 -   a r c t g x z ,   y > 0 é uma primitiva no semipano y > 0 . Então, no quadrante x < 0   e   y > 0 temos a primitiva a r c t g y x e temos o caso de y = 0 também, então temos a seguinte primitiva:

φ x , y : π 2 -   a r c t g x z ,     y > 0   π ,     y = 0 ,   x < 0 a r c t g y x ,   x < 0

Como temos tal função primitiva, a forma diferencial é exata.

Resposta

É exata.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 9 x 2 + y - 1 - 4 y - x y ' = 0 , y 1 = 0
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução. 2 x + 4 y + 2 x - 2 y y ' = 0
Em cada um dos problemas 15 e 16, encontre o valor de b para qual a equação dada é exata e depois a resolva usando esse valor de b . x y 2 + b x 2 y + x + y x 2 y ' = 0
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n2 x + 2 x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 y ' = 0
Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3