3) Considere a forma diferencial ,onde P, Q e u são supostas de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Prove que umacondição necessária para que a forma diferencial seja exata em Ω é que
Passo 1
Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam
Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo.
Vamos provar então que essa função é conservativa
Vamos calcular esse determinante
Passo 2
Isso nos da que
Agora para que seja conservativo tem que ser 0 logo
Vamos aplicar a regra da cadeia.
Reordenando temos que
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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dy/dx + (2 * y^2 + 6xy - 4) / (3 * x^2 + 4xy + 3 * y^2) = 0
(2 * (x / y) - (y / (x^2 + y^2))) + ((x / (x^2 + y^2)) - (x^2 / y^2)) * (dy / dx) = 0
(x + y) + (x + 2y) * (dy/dx) = 0, y(2) = 3
(x^2 y + x y - y) + (x^2 y - 2 x^2) (d y)/(d x) = 0
dy/dx = - (2xy + 1) / (x^2 + 2y)