3) Considere a forma diferencial u   ( x ,   y )   P   ( x ,   y )   d x   +   u   ( x ,   y )   Q   ( x ,   y )   d y ,onde P, Q e u são supostas de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Prove que umacondição necessária para que a forma diferencial seja exata em Ω é que

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Passo 1

Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam

∇ ϕ = F

∇ × F = 0

Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo.

Vamos provar então que essa função é conservativa

∇ × F = 0

x → y → z → d d x d d y d d z P Q R

Vamos calcular esse determinante

Passo 2

x → y → z → d d x d d y d d z u P u Q 0

Isso nos da que

x → = 0

y → = 0

z → = d d x u Q -   d d y u P  

Agora para que seja conservativo z → tem que ser 0 logo

d d x u Q =   d d y u P  

Vamos aplicar a regra da cadeia.

Q d d x u + u d d x Q   = d d y u + d d y P

Reordenando temos que

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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(d y)/(d x) = - (2 x y + 1)/(x^2 + 2 y)