3) Considere a forma diferencial ,onde P, Q e u são supostas de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Prove que umacondição necessária para que a forma diferencial seja exata em Ω é que
Passo 1
Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam
Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo.
Vamos provar então que essa função é conservativa
Vamos calcular esse determinante
Passo 2
Isso nos da que
Agora para que seja conservativo tem que ser 0 logo
Vamos aplicar a regra da cadeia.
Reordenando temos que
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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(d y)/(d x) + (2 y^2 + 6 x y - 4)/(3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) = 0
(2 (x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) + ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) (d y)/(d x) = 0
(x + y) + (x + 2 y) (d y)/(d x) = 0 , y (2) = 3
(x^2 y + x y - y) + (x^2 y - 2 x^2) (d y)/(d x) = 0
(d y)/(d x) = - (2 x y + 1)/(x^2 + 2 y)