5) Determine u (x, y), que só dependa de y, de modo que (y^2 + 1) u(x, y) dx + (x + y^2 - 1) u(x, y) dy seja exata

Passo 1

Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam

∇ ϕ = F

∇ × F = 0

Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo. Calculamos no exercício anterior que

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Então vamos usar isso

Passo 2

Se temos que

u y

OU seja não depende de x, logo

∂ u ∂ x = 0

Isso facilita um pouco nossa vida, deixando a relação de cima como

∂ u ∂ y P = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Vamos então substituir os valores e integrar

Passo 3

∂ u ∂ y y 2   +   1 = u ∂ ( x   +   y 2   -   1 ) ∂ x - ∂ y 2   +   1 ∂ y

∂ u ∂ y y 2   +   1 = u 1 - 2 y

1 u d u   = 1 - 2 y y 2   +   1 d y  

1 u d u   = 1 y 2   +   1 - 2 y y 2   +   1 d y  

Integrando em ambos os lados temos

ln ⁡ u   = arctan ⁡ y - ln ⁡ y 2 + 1

Teoricamente teríamos que acrescentar uma constante arbitraria, mas podemos arbitrar que ela seja nula

C = 0

Assim nossa função final fica

u = e arctan ⁡ y y 2 + 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

u = e arctan ⁡ y y 2 + 1

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Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução(e^x * sen y - 2y * sen x) + (e^x * cos y + 2 * cos x) * y' = 0
(x^2 + y) + (x + e^y) * (dy / dx) = 0
2 * sen(y) * sen(x) * cos(x) + cos(y) * sen^2(x) * (dy/dx) = 0
(d y)/(d x) = (3 x^2 - 2 y - y^3)/(2 x + 3 x y^2)
y' = e^(x + y)