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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 5

5) Determine u (x, y), que só dependa de y, de modo que ( y 2   +   1 )   u   ( x ,   y )   d x   +   ( x   +   y 2   -   1 )   u   ( x ,   y )   d y seja exata

Passo 1

Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam

∇ ϕ = F

∇ × F = 0

Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo. Calculamos no exercício anterior que

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Então vamos usar isso

Passo 2

Se temos que

u y

OU seja não depende de x, logo

∂ u ∂ x = 0

Isso facilita um pouco nossa vida, deixando a relação de cima como

∂ u ∂ y P = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Vamos então substituir os valores e integrar

Passo 3

∂ u ∂ y y 2   +   1 = u ∂ ( x   +   y 2   -   1 ) ∂ x - ∂ y 2   +   1 ∂ y

∂ u ∂ y y 2   +   1 = u 1 - 2 y

1 u d u   = 1 - 2 y y 2   +   1 d y  

1 u d u   = 1 y 2   +   1 - 2 y y 2   +   1 d y  

Integrando em ambos os lados temos

ln ⁡ u   = arctan ⁡ y - ln ⁡ y 2 + 1

Teoricamente teríamos que acrescentar uma constante arbitraria, mas podemos arbitrar que ela seja nula

C = 0

Assim nossa função final fica

u = e arctan ⁡ y y 2 + 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

u = e arctan ⁡ y y 2 + 1

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Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução e xs e ny - 2 ys e nx + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x y ' = 0
(x^2 + y) + (x + e^y) (d y)/(d x) = 0
2 s e n y s e n x cos x + cos y s e n^2 x (d y)/(d x) = 0
(d y)/(d x) = (3 x^2 - 2 y - y^3)/(2 x + 3 x y^2)
y^' = e^(x + y)