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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 1c

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

b )   y z   d x + x z   d y + x y   d z

Passo 1

Pra ser exata, a gente tem uma condição necessária pra satisfazer, sendo P o termo que acompanha d x , Q o de d y e R o de d z :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x ∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y

Vamos verificar isso então. Vou fazer na mesma ordem que tá aí:

z = z y = y x = x

Bom, então aqui tá ok, a condição necessária foi satisfeita. Vamos achar a primitiva dessa função agora.

Passo 2

Integrando cada termo em relação a variável d x   a   g e n t e   i n t e g r a   e m   x ,   e   a s s i m   p o r   d i a n t e a gente vai ter:

φ x , y , z = ∫ y z   d x = x y z + A ( y , z )

φ x , y , z = ∫ x z   d y = x y z + B x , z

φ x , y , z = ∫ x y   d z = x y z + C ( x , y )

(aqui é o mesmo procedimento do campo conservativo)

Uma função que se encaixa nessas igualdades é:

φ x , y , z = x y z

Então, como a função do exercício admite essa função como primitiva, ela é exata.

Resposta

É exata.

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