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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 22

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 d x = x - s e n 2 x - 4 x y e x y 2 d y

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 d x = x - s e n 2 x - 4 x y e x y 2 d y é exata

Temos que escrever essa equação no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , para isso, vamos deixar tudo de um lado só:

2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 d x - x - s e n 2 x - 4 x y e x y 2 d y = 0

Então, temos M x , y = 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 e N x , y = - x - s e n 2 x - 4 x y e x y 2 = - x + s e n 2 x + 4 x y e x y 2

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 ∂ y

Derivando M em relação a y (lembrando de usar a regra do produto)

∂ M ∂ y = 2 s e n x cos ⁡ x - 1 + 4 y . e x y 2 + 2 y 2 . 2 x y . e x y 2

∂ M ∂ y = 2 s e n x cos ⁡ x - 1 + 4 y . e x y 2 + 4 x y 3 . e x y 2

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( - x + s e n 2 x + 4 x y e x y 2 ) ∂ x

∂ N ∂ x = - 1 + 2 s e n x cos ⁡ x + 4 y . e x y 2 + 4 x y 3 . e x y 2

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - 1 + 2 s e n x cos ⁡ x + 4 y . e x y 2 + 4 x y 3 . e x y 2

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 d x - x - s e n 2 x - 4 x y e x y 2 d y = 0

Com M x , y = 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2 e N x , y = - x - s e n 2 x - 4 x y e x y 2 = - x + s e n 2 x + 4 x y e x y 2

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2   d x + g y     ( I )

Passo 5

Vamos resolver a integral que temos em ( I ) :

∫ 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2   d x

Podemos separar na soma das integrais:

∫ 2 y . s e n x . cos ⁡ x   d x - ∫ y   d x + ∫ 2 y 2 e x y 2   d x

Como y é uma constante, já dá pra simplificarmos nossa vida e ficarmos mais felizes:

2 y . ∫ s e n x . cos ⁡ x   d x - y x + 2 y ² ∫ e x y 2   d x

Agora vamos resolver essas integraizinhas em x

Na primeira integral, vamos fazer substituição simples: u = s e n x → d u = cos ⁡ x d x

Na segunda integral, vamos fazer v = y 2 . x → d v = y ² d x

2 y . ∫ u   d u - y x + 2 y 2 . 1 y 2 ∫ e v   d v

2 y . u 2 2 - y x + 2 e v + C

Voltando para a variável x ( u = s e n ( x ) e v = y 2 . x ):

2 y . s e n ² ( x ) 2 - y x + 2 e y 2 . x + C

Então:

∫ 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2   d x = y . s e n 2 x - y x + 2 e y 2 x + C   ( I I )

Passo 6

Temos

f = ∫ 2 y . s e n x . cos ⁡ x - y + 2 y 2 e x y 2   d x + g y     ( I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = y . s e n 2 x - y x + 2 e y 2 x + g y   ( I I I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = s e n 2 x - x + 4 x y . e y 2 . x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = - x + s e n 2 x + 4 x y e x y 2 :

∂ f ∂ y = s e n 2 x - x + 4 x y . e y 2 . x + g ' ( y ) = - x + s e n 2 x + 4 x y e x y 2

Então:

g ' y = 0

Integrando em relação a y :

g y = C   ( I V )

Substituindo ( I V ) em ( I I I ) :

f = y . s e n 2 x - y x + 2 e y 2 x + C

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y . s e n 2 x - y x + 2 e y 2 x + C   = c

Resposta

É   e x a t a

y . s e n 2 x - y x + 2 e y 2 x + C   = c

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