Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 20
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Passo 1
Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:
Temos que
É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata
Ela já está escrita no formato
Então, temos e
Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá
Passo 3
Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se
Temos:
Derivando em relação a :
Agora pro :
Então, temos
Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver
Passo 4
Temos
Com e
Para resolver, vamos supor
Agora vamos integrar em relação a , aí conseguimos encontrar o
Vamos também acrescentar um que vai ser a constante de integração
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente:
Em , vamos utilizar integral por partes com e , e então, temos e
Fazendo substituição simples na integral:
Voltando para a variável :
A segunda integral é , mas acabamos de resolver essa integral no item anterior hehehe então:
E a terceira integral:
Agora é só substituir os resultados das integrais na expressão
Passo 6
Temos
Substituindo e em :
Agora vamos derivar em relação a e igualar isso a
Como :
Integrando em relação a :
Substituindo em :
A solução da equação diferencial exata é , então: