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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 13

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x   d y = x . s e n x - y d x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, dividindo tudo por x . d x :

d y d x = s e n x - y x

d y d x + 1 x y = s e n x     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 1 x e B x = s e n ( x ) então:

I x = e ∫ 1 x   d x

I x = e l n ⁡ | x |

I x = x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 x ∫ x . s e n ( x )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ x . s e n x d x

Vamos usar integral por partes com u = x e d v = s e n ( x ) , aí temos d u = 1 e v = - c o s ⁡ ( x ) :

∫ x . s e n x d x = - x . cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

∫ x . s e n x d x = - x . cos ⁡ x + s e n ( x )

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 x - x . cos ⁡ x + s e n ( x ) + c

y x = - cos ⁡ x + s e n x x + c x

Sendo que x não pode ser 0 para não zerar o denominador:

x ≠ 0

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = - cos ⁡ x + s e n x x + c x

x ≠ 0

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