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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 32

Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.

2 x - y . s e n x y + k . y 4 d x - 20 x y 3 + x . s e n ( x y ) d y = 0

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de k para que a equação 2 x - y . s e n x y + k . y 4 d x - 20 x y 3 + x . s e n ( x y ) d y = 0

Seja exata

Temos M x , y = 2 x - y . s e n x y + k . y 4 e N x , y = - 20 x y 3 + x . s e n x y = - 20 x y 3 - x . s e n ( x y )

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando ∂ M ∂ y

∂ M ∂ y = ∂ ( 2 x - y . s e n x y + k . y 4 ) ∂ y

Como k é uma constante, temos:

∂ M ∂ y = - s e n x y - y . x . cos ⁡ x y + 4 k y ³

Agora vamos calcular ∂ N ∂ x

∂ N ∂ x = ∂ ( - 20 x y 3 - x . s e n ( x y ) ) ∂ x

∂ N ∂ x = - 20 y 3 - x y . cos ⁡ x y - s e n ( x y )

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

- s e n x y - y . x . cos ⁡ x y + 4 k y ³ = - 20 y 3 - x y . cos ⁡ x y - s e n ( x y )

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de k para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como todos os termos são iguais de um lado e do outro, o termo que multiplica y ³ do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica y ³ do lado direito:

4 k = - 20

k = - 5

Então, para k = - 5 as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

k = - 5

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Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 3 y 2 - x ² y 5 d y d x+ x 2 y 4 = 0 , y 1 = 1 ²
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² d x + y . e y + x x 2 + y ² d y = 0 ² ²
Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata. 6 x y 3 + cos ⁡ y d x + k x 2 y 2 - x . s e n ( y ) d y = 0