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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 15

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y d x d y + 2 x ln ⁡ x = x e y

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y d y d x + 2 x ln ⁡ x = x e y

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar transformar ela numa equação separável...

Vamos fazer u = y 2 ln ⁡ x ...

Passo 2

Bom, se u = y 2 ln ⁡ x , temos:

d u d y = 2 y ln ⁡ x + y 2 x   d x d y

d x d y = d u d y - 2 y ln ⁡ x y 2 x

Vamos substituir isso na nossa EDO...

y d x d y + 2 x ln ⁡ x = x e y

y d u d y - 2 y ln ⁡ x x y 2 + 2 x l n   x = x e y

x y d u d y - 2 x ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x = x e y

x y d u d y = x e y

1 y d u d y = e y

d u = y e y   d y

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ y e y   d y = ∫   d u

y e y - e y = u + C

E como u = y 2 ln ⁡ x , temos:

y e y - e y - y 2 ln ⁡ x = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

y e y - e y - y 2 ln ⁡ x = C

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