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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 12

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x e y y ' - 2 e y = x 2

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x e y y ' - 2 e y = x 2

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Um bom palpite aqui é que ela pode se transformar numa equação linear, mas pra isso a gente precisa que somente termos em função de x acompanhe os termos de y .

E se a gente fizer u = e y ? (ele tá aparecendo muito ali na nossa equação...)

Passo 2

Bom, derivando u = e y a gente tem:

y = ln ⁡ u

y ' = 1 u   u '

E aí substituindo isso na nossa equação temos:

x e y y ' - 2 e y = x 2

x u 1 u   u ' - 2 u = x 2

x u ' - 2 u = x 2

u ' - 2 u x = x

E essa é uma equação linear, em u . Vamos resolvê-la!

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = - 2 x

q x = x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ - 2 x   d x ∫ e ∫ - 2 x   d x ⋅ x   d x

u = e 2 ln ⁡ x ∫ e - 2 ln ⁡ x ⋅ x   d x

u = x 2 ∫ x - 2 ⋅ x   d x

u = x 2 ln ⁡ | x | + C

u = x 2 ln ⁡ | x | + C x 2

E aí é só voltar para y ...

e y = x 2 ln ⁡ | x | + C x 2

E terminamos por aqui😉

Resposta

e y = x 2 ln ⁡ | x | + C x 2

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