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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 25

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 ;       y 1 = x 2 + x 3

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

y ' ' - 4 x y ' + 6 y x 2 = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = - 4 x     (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = x 2 + x 3 , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = ( x 2 + x 3 ) ∫ e - ∫ - 4 x d x x 2 + x 3 2 d x

y 2 = ( x 2 + x 3 ) ∫ x 4 x 2 + x 3 2   d x

y 2 = x 2 + x 3 ∫ d x 1 + x 2

y 2 = x 2 + x 3 - 1 1 + x

y 2 = - x 2

Podemos desconsiderar as constantes...

y 2 = x 2

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = x 2

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