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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 17d

Considere o problema de valor inicial

Encontre as coordenadas do ponto de máximo (tM, yM) em função de b. Descreva a dependência em b de tM e de yM quando b aumenta.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar qual a Eq. (i).

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Como o enunciado nos pede para usar a mudança de variável x= u(t), agora é só substituir.

d y d t = d y d x d x d t

Agora é só aplicar a derivada segunda e achar a relação!!

d 2 y d t 2 = d d t d y d t

d 2 y d t 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d t 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d t 2 = d x d t d d t d y d x d x d t + d y d x d 2 x d t 2

d 2 y d t 2 = d 2 y d x 2 d x d t 2 + d y d x d 2 x d t 2    

d 2 y d x 2 d x d t 2 + d y d x d 2 x d t 2 + p t d y d x d x d t + q t y = 0    

d 2 y d x 2 d x d t 2 + d 2 x d t 2 + p t d x d t d y d x + q t y = 0

Agora é só aplicar a proporção!!

d x d t 2 ∝ q ( t )

d x d t 2 = k q ( t )

d x d t = ± k q t 1 2

d 2 x d t 2 =   ± k q ' t 2 k q t 1 2

d 2 y d x 2 ± k q ' t + 2 p t k q t 2 k q t 3 2 d y d x + 1 k y = 0

x t =   ± ∫ k q s 1 2 d s  

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y = e r x

d y d x = r e r x  

d 2 y d x 2 =   r ² e r x

  4 r 2 + 4 r +   1 = 0

r = - 1 2  

y t = c t e - t 2

4 c t e t 2 ' ' + 4 c t e t 2 ' + 1   c t e t 2 = 0

c ' ' t = 0

c ' t = C 1

c t = C 1 t + C 2

y 0 = C 2 = 1

y ' 0 = C 1 - 1 2 C 2 = b

y t = b + 1 2 t e - t 2 +   e - t 2

y ' t = - 1 2 b + 1 2 t e - t 2 +   b e - t 2

t = 4 b 2 b + 1

t t = 2 b + 1 exp ⁡ - 2 b 2 b + 1

4 b 2 b + 1   ,   2 b + 1 exp ⁡ - 2 b 2 b + 1

Resposta

4 b 2 b + 1   ,   2 b + 1 exp ⁡ - 2 b 2 b + 1

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