Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 29
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
Passo 1
Vamos pra mais uma?
Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação , sendo que a primeira solução é
Nesse caso, a gente vai seguir a sugestão do enunciado e usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:
Dada a equação e uma primeira solução , uma segunda solução vai ser dada por
Então vamos lá??
Passo 2
Só pra relembrar, temos a equação
E a primeira solução é
Primeiramente, vamos comparar a nossa equação com eesse modelo:
Comparando a nossa equação com a , a gente tem
Então agora é só jogar lá na fórmula do passo 1??
Isso mesmooo, vamos lá!
Passo 3
Vimos que a segunda solução é dada por
Substituindo, e , temos
Pra começo de conversa, temos que resolver aquela integral ali no expoente do Euler:
Removendo a constante:
A integral da tangente a gente sabe né:
Passo 4
Ta bom, agora vamos substituir em :
Por propriedade de logaritmo,
Agora é só resolver essa integral
E vamos de integral por partes
Passo 5
Ó, a gente tem essa integral
Chamando e , temos e :
Masss, :
Vamos separar a integral da subtração na subtração das integrais:
Mandando o pro outro lado:
E aí encontramos o resultado da integral:
Como temos , uma segunda solução é