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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 27

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

3 x + 1 y ' ' - 9 x + 6 y ' + 9 y = 0 ;       y 1 = e 3 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

3 x + 1 y ' ' - 9 x + 6 y ' + 9 y = 0

y ' ' - 9 x + 6 3 x + 1 y ' + 9 y ( 3 x + 1 ) = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = - 9 x + 6 3 x + 1     (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = e 3 x , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = ( e 3 x ) ∫ e - ∫ -   9 x + 6 3 x + 1 d x e 3 x 2 d x

y 2 = ( e 3 x ) ∫ e 3 x + 1 + ln ⁡ ( 3 x + 1 ) e 6 x   d x

y 2 = e 3 x e ∫ e 3 x ( 3 x + 1 ) e 6 x   d x

y 2 = e 3 x e   ∫ 3 x + 1 e 3 x   d x

y 2 = e 3 x e - x e - 3 x - 2 3 e - 3 x

Podemos desconsiderar as constantes multiplicativas:

y 2 = - x - 2 3

y 2 = 3 x + 2

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = 3 x + 2

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