Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y_1(x) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.

y'' + y' = 1; y1 = 1

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos matar esse probleminha?

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação y ' ' + y ' = 1 , sendo que a primeira solução é y 1 = 1

Nesse caso, a gente vai usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

y ' ' + y ' = 1

E a primeira solução é y 1 = 1

Primeiramente, vamos comparar a nossa equação com esse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = 1

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

y 2 x = 1 ∫ e - ∫ 1 d x 1 ²   d x

y 2 x = ∫ e - x   d x

y 2 x = - e - x

E uma solução particular é y p = x

E fechamosss

Resposta

y 2 x = - e - x

y p = x

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