Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 26
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
26.
Passo 1
Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar fazendo as substituições na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:
Fatorando isso aí, ou seja, reescrevendo nossa expressão de outra forma, teremos:
E então encontramos que:
Como as raízes são distintas e complexas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:
Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!
Passo 2
Chamando de o lado direito da nossa equação, então tiramos que:
Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:
No qual é o expoente de acrescido de uma unidade, é o operador definido como e é a constante que acompanha no expoente. No nosso caso temos e , logo nosso primeiro operador será:
Quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:
No nosso caso temos e , logo nosso segundo operador será:
E, por fim, quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:
Dessa forma nosso operador completo será . Aplicando na nossa equação, teremos:
E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)
Passo 3
Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo , teremos:
Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:
Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:
Observe que o termo é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:
Aqui vale ressaltar que , beleza? Top! E então devemos encontrar para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!
Passo 4
Derivando nossa solução particular:
Substituindo na nossa equação original, teremos:
Como temos uma identidade isso nos dá que:
(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:
E essa é a nossa resolução, galera! 😉